Géométrie différentielle

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Université de Pau et des Pays de l'Adour (UPPA)

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Formations 2018-19

Géométrie différentielle

Objectifs

Les variétés interviennent dans de nombreux problèmes de mathématiques, de physique, de chimie et de biologie. Du point de vue mathématique on cherche à classifier les "formes" en dimension quelconque et voir les contraintes sur ces formes données par la topologie, la métrique, etc. Ces questions en apparence purement mathématique interviennent de manière fondamentale lorsqu'on étudie par exemple la gravitation, la dynamique d'une onde sur le globe terrestre afin de prévoir les conséquences d'un tsunami ou encore la forme des virus ou celle de l'ADN.

L'objectif du cours est de fournir le cadre mathématique pour penser ces problèmes qui est celui de la géométrie différentielle. Ce cadre permet de formuler des équations différentielles sur les variétés comme la sphère ou encore des EDPs. En particulier, les notions classiques de Laplacien, de divergence, de gradient vont ici mettre en lumière les propriétés profondes de ces opérateurs et leurs liens à la géométrie qui est souvent caché par la présentation usuelle dans R^n. Enfin, nous ferons une excursion vers la géométrie différentielle discrète qui permet de faire le lien avec les méthodes de discrétisation des EDPs vues dans d'autres cours.

Pré-requis recommandés

Calcul différentiel, géométrie des courbes et surfaces, UE de géométrie du premier semestre.

Volume horaire

  • CM : 19.5
  • TD : 19.5

Examens

Première session

Deuxième session

Contrôle continu : 30%

Examen terminal : 70%

Durée de l'examen terminal : 2 heures

Examen : 100 %

Durée de l'examen  : 2 heures

Syllabus

1- Variétés : définition, applications différentiables

2- Champs de vecteurs et formes différentielles, intégration des formes différentielles

3- Fibrés vectoriels, fibrés tangents et cotangents

4- Variétés riemaniennes, connexions

5- Gradient, divergence et Laplacien

6- Vers la géométrie différentielle discrète.

Références :

J. Lafontaine, Introductions aux variétés différentiables, Presses Universitaires de Grenoble, 1996.
C. Doss-Bachelet, J-P. Francoise, C. Piquet, Géométrie différentielle, Ellipses, 2000.
P. Romon, Introduction à la géométrie différentielle discrète, Ellipses, 2013.
M. Berger, B. Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces, Presses Universitaires de France, 1987.
J. Lelong-Ferrand, Géométrie différentielle, Ed. Masson, 1963.
M. Hirsch, Differential topology, Graduate Texts in Mathematics no. 33, 1991.

En bref

Crédits ECTS 4

Nombre d'heures 39

Niveau d'étude BAC +4

Contact(s)

Composante

Contact(s) administratif(s)

Secrétariat de Mathématiques - Brigitte GAUBERT

Email : brigitte.gaubert @ univ-pau.fr

Lieu(x)

  • Pau