Initiation à la théorie de la mesure et probabilités approfondies

Présentation

• Algèbre, tribu, mesure – Exemple de mesures : Dirac, comptage, Lebesgue, probabilité. Ensembles négligeables. Notions de tribu engendrée, d'application mesurable et de variable aléatoire. Notions d'espace mesuré et d'espace probabilisé.
• Intégration par rapport à une mesure, de fonctions étagées puis de fonctions mesurables positives par convergence monotone. Cas particuliers : intégration par rapport à la mesure de Dirac, par rapport à la mesure de Lebesgue et par rapport à la mesure de comptage. Notion de mesure image et de loi de probabilité. Intégration par rapport à la mesure image, théorème de transfert.
• Intégration d'une fonction à valeurs réelles, application intégrable par rapport à une mesure, intégrale de Lebesgue. cas particulier de la mesure de Lebesgue : rapport avec l'intégrale de Riemann et la convergence absolue des intégrales généralisées. Cas particulier de la mesure de comptage et rapport avec la convergence absolue des séries. Intégration par rapport à une mesure à densité, espérance d'une variable aléatoire réelle.
• Conditionnement et indépendance : probabilités totales, Bayes, indépendance mutuelle et indépendance deux à deux. Variables aléatoires indépendantes.
• Lois de variables aléatoires réelles : lois discrètes, lois absolument continues, fonction de répartition, lois classiques. Fonction génératrice. Moments.
• Vecteurs aléatoires, lois conjointes, lois marginales, lois conditionnelles, moments, covariance.
• Vecteurs gaussiens, loi loi du Khi2, Student, Fisher-Snedecor

Volume horaire

• Cours Magistral : 19.5h
• Travaux Dirigés : 39h

Examens

30% contrôle continu 70% examen