Description du cours et modalités pédagogiques :

• Fonctions de plusieurs variables - Partie 2 - Approfondissements
• Optimisation sans contrainte
  • Optimisation sans contrainte : condition nécessaire d’ordre un et deux.
  • Algorithme du gradient
  • Méthode des moindres carrés : équations normales
  • Cas de contraintes d’égalité
• Algèbre, tribu, mesure
  • Tribu, tribu engendrée
  • Exemple de mesures : Dirac, comptage, Lebesgue, de probabilité.
  • Application mesurable et variable aléatoire.
  • Notions d’espace mesuré et d’espace probabilisé.
  • Ensembles négligeables.
• Construction de l’intégrale
  • Intégration par rapport à une mesure, de fonctions étagées puis de fonctions mesurables positives par convergence monotone.
  • Cas particuliers : intégration par rapport à la mesure de Lebesgue et par rapport à la mesure de comptage.
  • Intégration par rapport à une mesure à densité, espérance d’une variable aléatoire réelle.
  • Théorème de Fubini et changement de variable
• Notion de mesure image et de loi de probabilité. Intégration par rapport à la mesure image, théorème de transfert.

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Description du cours et modalités pédagogiques :

• Convergence en probabilité
  • Inégalité de Markov, de Bienaymé-Tchebychev
  • Convergence en probabilité, loi faible des grands nombres pour une suite de variables aléatoires, indépendantes et de même espérance et même variance.
  • Composition par une fonction continue
• Convergence en loi
  • Définition
  • Théorème de Slutsky, composition par une fonction continue
  • Théorème Central Limit
  • Approximation de la loi binomiale et de la loi de Poisson par la loi normale

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Description du cours et modalités pédagogiques :

L’objectif de ce cours est de modéliser l’évolution dans le temps, supposé discret,
d’un phénomène aléatoire. On parle de série temporelle. Les points suivants seront abordés :

• Estimation et filtrage de la tendance et de la saisonnalité
• Prévision par méthodes de lissages
• Mise en œuvre de modèles probabilistes : Modèle Arma

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