› 1) Espaces de Hilbert : Fondements et Caractéristiques

• Définitions et propriétés des espaces de Hilbert.
• Produit scalaire et norme dans un espace de Hilbert.
• Orthogonalité, bases orthogonales et projections.
• Théorème de représentation de Riesz, de Lax-Milgram.
• Convergence faible.

› 2) Opérateurs linéaires dans les espaces de Hilbert

• Opérateurs auto-adjoints et compacts.
• Spectre des opérateurs dans les espaces de Hilbert.

› 3) Applications

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› 1) Théorie des distributions

• Rappels sur les espaces L^p.
• Introduction aux distributions et aux espaces de distributions.
• Notion de convergence dans l'espace des distributions.
• Opérations sur les distributions : dérivées, transformations, multiplication par une fonction.

› 2) Espace de Sobolev

•  Espaces de Sobolev et leurs propriétés.
• Inégalités de Sobolev et applications.

› 3)  Applications 

• Existence et unicité des solutions pour certaines classes d'EDP.
• Études de solutions.

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› 1) Méthodes des Différences Finies pour les équations elliptiques stationnaires

• Différences finies en dimension 1,
• Discrétisation des problèmes elliptiques en dimension 1 (discrétisation de l’équation et des conditions limites),
• Étude de la consistance, stabilité et erreur de convergence,
• Discrétisation des problèmes elliptiques en dimension 2 et étude de la consistance, de la stabilité et l’erreur de convergence,

› 2) Méthodes des Différences Finies pour les équations instationnaires

• Semi-discrétisation en espace,
• Discrétisation en temps, schémas d’Euler implicite et explicite, méthode de Crank-Nicolson (thêta-schéma),
• Équation de la chaleur,
• Équation d’advection, Équation de convection-diffusion,
• Analyse de stabilité au sens de Von Neumann.

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› 1) Introduction aux outils numériques

• Langage bash et gestionnaire de version git (utilisé pour les futurs rendus de TP).

› 2) Les bases en Python

• Algèbre linéaire (numpy.linalg),
• Résolution d’équations différentielles (Euler, Runge Kutta 2 et 4),
• Les classes en Python.

› 3) Implémentation d’algorithmes de résolution numérique par différences finies des problèmes stationnaires 1D suivants :

• Équation de Laplace (-u’’=f) avec condition aux bords Dirichlet ou Neumann,
• u’’=u+f,
• Équation d’Euler-Bernouilli (déformation d’une poutre) : u’’’’=f avec conditions aux bords
  ▪    u(0)=u’(0)=0 et u(L)=u’(L)=0,
  ▪    u(0)=u’(0)=0 et u’’(L)=u’’’(L)=0.

› 4) Implémentation d’algorithmes de résolution numérique par différences finies des problèmes instationnaires 1D suivants :

•  Advection 1D : schéma décentré couplé à une intégration temporelle d’Euler explicite ou implicite,
• Diffusion 1D : intégration temporelle d’Euler explicite ou implicite et schéma de Crank-Nicolson.

› 5) Implémentation d’algorithmes de résolution numérique par différences finies des problèmes 2D suivants :

• Problème stationnaire : équation de Laplace,
• Problème instationnaire : équation de la chaleur.

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Maitriser le vocabulaire d’un problème d’optimisation, savoir résoudre une classe de problèmes d’optimisation et savoir le résoudre numériquement.

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Renforcer les connaissances en probabilités pour la modélisation.

1. Rappels d’intégration (tribu, mesure) et de probabilités (loi d’un vecteur aléatoire, tribu engendrée par un vecteur aléatoire),
2. Vecteurs gaussiens,
3. Lois et espérances conditionnelles.

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Former les étudiants au langage R pour l’analyse statistique.

1. Création et manipulation d’objets,
2. Gestion des entrées/sorties,
3. Fonctions,
4. Éléments de programmation,
5. Graphiques,
6. Rapports avec Rmarkdown,
7. Applications avec Shiny.

Attention : pour le parcours CYTech du Master MMS, cette UE n'est proposée qu'en UECF. 

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Préparation à la certification en anglais, Test of English for International Communication (TOEIC).

Le TOEIC mesure les compétences de compréhension écrite et orale pour les niveaux débutant à avancé et détermine si une personne peut communiquer en anglais efficacement et avec aisance dans un contexte professionnel.

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1)     Théorie de Fourier

• Transformée de Fourier, 
• Distributions tempérées. 

2)     Espace de Sobolev en dimension N>1

3)     Applications

• Équations elliptiques linéaires, 
• Première résolution de problème parabolique. 

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› 1) Implémentation de A à Z en 1D (Python) pour des éléments Pk continus

• Interpolation,
• Projection,
• Assemblage d’un problème aux limites,
• Étude de convergence en maillage, en temps.

› 2) Utilisation de logiciels en 2D (ou 3D)

• Gestion des maillages (gmsh),
• Assemblage d’un problème aux limites (DOLFINx),
• Visualisation et post-traitement (Paraview).

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I) Introduction

• Définitions et principes de modélisation,

• Introduction aux étapes de la construction d’un modèle mathématique,
• Exemples simples issus de la physique, biologie et économie.

II) Modélisation par des équations différentielles ordinaires/ systèmes dynamiques

• Modélisation de phénomènes dynamiques : croissance, modélisation de population,
• Stabilité des équilibres, introduction aux diagrammes de phase.

III) Modélisation par les équations aux dérivées partielles (EDP)

• Principales EDP de la physique : équation de la chaleur, de transport… ,
• Méthodes analytiques de résolution pour des cas simples,
• Applications à la modélisation physique.

IV) Introduction aux modèles stochastiques

• Concepts de probabilité et de processus stochastiques simples,
• Introduction aux chaînes de Markov et applications dans la modélisation de phénomènes..

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› 1) Généralité sur les graphes : Définition, type de graphe (graphes simples, graphes pondérés, graphes bipartis, connexité, arbres, forêts),

› 2) Programmation linéaire : Dualité,

› 3) Algorithmes en recherche opérationnelle : plus courts chemins, tournées, couplage, parcours, coupe, flot, coloration.

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› 1) Théorèmes de Hahn-Banach et ses applications

• Rappels sur les espaces de Banach,
• Théorème de Hahn-Banach forme analytique,
• Théorème de Hahn-Banach forme géométrique.

› 2) Topologie faible et faible étoile

• Constructions des topologies,
• Compacité.

Attention : pour le parcours CYTech du Master MMS, cette UE n'est proposée qu'en UECF. 

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Préparation à la certification en anglais, Test of English for International Communication (TOEIC).

Le TOEIC mesure les compétences de compréhension écrite et orale pour les niveaux débutant à avancé et détermine si une personne peut communiquer en anglais efficacement et avec aisance dans un contexte professionnel.

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Aborder la prédiction et l’apprentissage automatique qui sont les tâches les plus courantes effectuées par les data scientists et les data analysts.

1. Présentation des activités clés de l’apprentissage automatique
2. Méthodes d’apprentissage supervisé: régression et classification binaire
3. Approches et algorithmes pour l’apprentissage supervisé
4. Apprentissage itératif basé sur l’optimisation
5. Généralisation, régularisation et Validation

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• Fonctions harmoniques, principes du maximum ;

• Résolution de problèmes elliptiques linéaires, régularité elliptiques, principes du maximum fort ;

• Problèmes elliptiques non linéaires (résolution avec différentes méthodes) ;

• Équation de la chaleur linéaire, régularité des solutions, problèmes non linéaires.

Attention : pour le parcours CYTech du Master MMS, cette UE n'est proposée qu'en UECF. 

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Present the theory of different Finite Element methods : conforming, nonconforming and mixed FE.

1. Sobolev spaces and trace theorems,
2. Variational formulations and approximations,
3. Finite element spaces,
4. Saddle-point problems.

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• We present the concepts of a Voronoi diagram and of a Delaunay triangulation,

• We shall present several recent results about their optimality from an approximation point of view,

• Finite Element Methods on general meshes,

• Some advanced applications.

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Les grandes masses de données (Big Data) sont un domaine en pleine croissance et les compétences dans ce domaine sont parmi les plus demandées aujourd’hui. Le gros problème, c’est que les données sont volumineuses - la taille, la complexité et la diversité des ensembles de données augmentent chaque jour.

1. Présentation de la problématique des grandes masses de données,
2. Présentation de certaines des approches statistiques et mathématiques permettant de les analyser,
3. Méthodes basées sur l’apprentissage machine pour l’analyse de grands ensembles de données et pour l’extraction d’informations.

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• Élaboration d'un diaporama servant de support à une présentation scientifique.

• Apprentissage de vocabulaire de spécialité.

• Élaboration d’un CV. 

• Entretien d’embauche. 

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