Espaces euclidiens

Définitions, familles orthogonales, orthonormales, bases, inégalité de Cauchy-Schwarz, théorème de Pythagore.

Exemples de produits scalaires définis à l'aide des notions introduites en deuxième  année (trace, intégrale généralisée, séries).

Application : produit vectoriel. Rotations et réflexions de O3(R).

Equations différentielles et systèmes différentiels

L'étude des équations linéaires scalaires d'ordre un, abordée en première année se poursuit avec celle des systèmes différentiels linéaires d'ordre un et des équations linéaires d'ordre un et deux à coefficients non constants et avec second membre.

Equations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2 ; recherche de solutions développables en séries entières ; variation de la constante (méthode de Lagrange) pour l'ordre 1 et 2.

Systèmes différentiels linéaires ; étude d'exemples où la matrice du système est diagonalisable ou trigonalisable.

Probabilités discrètes

Rappels sur les dénombrements.

Espaces probabilisés. Conditionnement et indépendance : probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, systèmes complets d'événements, formule de Bayes.

Variables aléatoires discrètes

Définition, loi d'une variable aléatoire discrète, fonction de répartition. Lois conditionnelles. Variables aléatoires indépendantes. Suites de variables aléatoires indépendantes.

Espérance et variance : espérance d'une variable aléatoire discrète. Théorème du transfert. Linéarité de l'espérance. Espérance du produit de deux variables aléatoires discrètes indépendantes. Variance, écart-type. Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev. Variance d'une somme finie de variables aléatoires, cas de deux variables indépendantes. Covariance, coefficient de corrélation.

Variables aléatoires à valeurs dans N : série génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans N. Série génératrice de la somme de deux variables aléatoires indépendantes.

Lois usuelles : loi binomiale, loi de Poisson, loi géométrique.

Fonctions de plusieurs variables

Notions sur le « cadre théorique » d’étude (pas de formalisme théorique excessif – le domaine priviligié est Rn) : normes sur un espace vectoriel de dimension finie ; normes équivalentes ; parties ouvertes, fermées, bornées ; suites convergentes et bornées.

Fonctions de Rn dans Rp: limites ; continuité ; opérations algèbriques (l'étude des limites de la continuité des fonctions de Rn  dans R n'est pas un objectif en soi). Dérivées partielles, fonctions de classe C1 et C2, développements limités, théorème de Schwarz ; notion de différentielle d'une fonction ; formes différentielles, exactes , fermées.

Fonctions de Rn dans Rp : Matrices jacobiennes. Règle de la chaîne.

Applications

Exemples de résolution d'équations aux dérivées partielles du premier et second ordre.

Recherche d'extrema locaux et globaux. Exemples de recherche d’extrema sur une partie fermée bornée non vide.

Lignes de niveau. Surfaces et plans tangents.

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Description du cours et modalités pédagogiques :

L’objectif de ce cours est l’initiation à des méthodes numériques classiques, notamment pour la résolution de systèmes d’équations linéaires (méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel, relaxations), d’équations non-linéaires (méthodes de Lagrange et de Newton), ainsi que de systèmes d’équations différentielles (schémas d’Euler, Runge-Kutta).

On présente les aspects mathématiques et algorithmiques liés à ces méthodes. Les algorithmes sont programmés en python lors de TP encadrés, sous-forme de mini-projets.

On approfondit la connaissance du langage python (calcul matriciel, graphisme).

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