Contenu du cours :

• Espaces euclidiens,
• Définitions, familles orthogonales, orthonormales, bases, inégalité de Cauchy-Schwarz, théorème de Pythagore,
• Exemples de produits scalaires définis à l'aide des notions introduites en deuxième  année (trace, intégrale généralisée, séries),
• Application : produit vectoriel. Rotations et réflexions de O3(R),
• Équations différentielles et systèmes différentiels,
  

• L'étude des équations linéaires scalaires d'ordre un, abordée en première année se poursuit avec celle des systèmes différentiels linéaires d'ordre un et des équations linéaires d'ordre un et deux à coefficients non constants et avec second membre,
• Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2 ; recherche de solutions développables en séries entières ; variation de la constante (méthode de Lagrange) pour l'ordre 1 et 2,
• Systèmes différentiels linéaires ; étude d'exemples où la matrice du système est diagonalisable ou trigonalisable,
• Probabilités discrètes,
• Rappels sur les dénombrements,
• Espaces probabilisés. Conditionnement et indépendance : probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, systèmes complets d'événements, formule de Bayes,
• Variables aléatoires discrètes,
• Définition, loi d'une variable aléatoire discrète, fonction de répartition. Lois conditionnelles. Variables aléatoires indépendantes. Suites de variables aléatoires indépendantes,
• Espérance et variance : espérance d'une variable aléatoire discrète. Théorème du transfert. Linéarité de l'espérance. Espérance du produit de deux variables aléatoires discrètes indépendantes. Variance, écart-type. Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev. Variance d'une somme finie de variables aléatoires, cas de deux variables indépendantes. Covariance, coefficient de corrélation,
• Variables aléatoires à valeurs dans N : série génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans N. Série génératrice de la somme de deux variables aléatoires indépendantes,
• Lois usuelles : loi binomiale, loi de Poisson, loi géométrique,
• Fonctions de plusieurs variables,
• Notions sur le « cadre théorique » d’étude (pas de formalisme théorique excessif – le domaine priviligié est Rn) : normes sur un espace vectoriel de dimension finie ; normes équivalentes ; parties ouvertes, fermées, bornées ; suites convergentes et bornées,
• Fonctions de Rn dans Rp: limites ; continuité ; opérations algèbriques (l'étude des limites de la continuité des fonctions de Rn  dans R n'est pas un objectif en soi). Dérivées partielles, fonctions de classe C1 et C2, développements limités, théorème de Schwarz ; notion de différentielle d'une fonction ; formes différentielles, exactes , fermées,
• Fonctions de Rn dans Rp : Matrices jacobiennes. Règle de la chaîne, Applications,
• Exemples de résolution d'équations aux dérivées partielles du premier et second ordre,
• Recherche d'extrema locaux et globaux. Exemples de recherche d’extrema sur une partie fermée bornée non vide,
• Lignes de niveau. Surfaces et plans tangents.

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Description du cours et modalités pédagogiques :

L’objectif de ce cours est l’initiation à des méthodes numériques classiques, notamment pour la résolution de systèmes d’équations linéaires (méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel, relaxations), d’équations non-linéaires (méthodes de Lagrange et de Newton), ainsi que de systèmes d’équations différentielles (schémas d’Euler, Runge-Kutta).

On présente les aspects mathématiques et algorithmiques liés à ces méthodes. Les algorithmes sont programmés en python lors de TP encadrés, sous-forme de mini-projets.

On approfondit la connaissance du langage python (calcul matriciel, graphisme).

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