Ce cours consiste en une présentation chronologique de quelques grandes découvertes mathématiques et de quelques grands mathématiciens. Cette présentation s'efforcera de décrire le contexte culturel, ceci dans la mesure des connaissances de  l'enseignant : littérature, peinture, etc.

Le cours débute par "le miracle grec", en insistant sur les Éléments d'Euclide (-300). Il se poursuit par l'apport des mathématiciens musulmans, en particulier Al Khwarizmi et le poète Omar Khayyam (IXe jusqu'au XIe). Vient ensuite Fibonacci (XIIIe) pour la diffusion en Occident des chiffres indo-arabes et pour la mise en évidence de la suite u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}, qui depuis porte son nom.

Une partie importante du cours sera consacrée au renouveau de la géométrie, qui accompagne et  résulte des innovations artistiques de  Renaissance en Italie (XVe). La résolution des équations polynomiales de degré 3 par Cardan est donnée et expliquée en détail (XVIe) ; on soulignera l'apparition des nombres complexes introduits par Bombelli pour lever une des difficultés des formules de Cardan.

Le grand siècle français avec les apports de Fermat, Pascal et Descartes, en théorie des nombres,  probabilités, géométrie fera l'objet d'une séance complète (XVIIe). Euler domine le XVIIIe (au moins dans ce cours) et une séance entière lui sera aussi consacré ; on y parlera de sommes infinies, de graphes, de logarithmique complexe et autres découvertes de ce mathématicien très prolifique.

Les techniques et outils du XIXe et du XXe deviennent de plus en plus difficiles à expliquer à de jeunes étudiants. Cependant,  certains travaux de Gauss (géométries non euclidiennes, nombres représentables à la règle et au compas, représentation géométrique des nombres complexes, arithmétique) demeurent  accessibles et seront expliqués. On décrira pendant une séance consacrée à la géométrie projective, son apparition et ses nouvelles idées (dualité, points complexes, points à l'infini) au début du XIXe sous la plume de Poncelet lors de son emprisonnement en Russie (1812).

La fin du XIXe sera abordée au travers des travaux de Cauchy en analyse, de Galois en algèbre, en parlant bien entendu de chercheurs hors de l'école française qui ont contribué aux progrès dans ces branches.

Pour le XXe, on expliquera l'essor de l'école allemande autour d'Emmy Noether après la première guerre mondiale puis la grande formalisation par groupe Bourbaki. On terminera par une petite biographie de Grothendieck.

À la fin de cette UE, vous serez capable de :

• Replacer sur une frise historique les principaux mathématiciens et leurs principaux résultats,
• Reproduire certaines démonstrations qui seront redonnées dans ce cours : par exemple, l'irrationalité de racine de 2 (ou de l'exponentielle), la résolution des équations de degré 3 (Cardan) et degré 4 (Ferrari), ou encore les théorèmes de Pythagore et Thalès (par la méthode d'Euclide).

100% Contrôle Continu Intégral

Les évaluations pourront prendre des formes diverses : contrôles écrits, QCM, corrections par les pairs, oraux, projets…