Séries numériques. Convergence d’une série. Séries à termes positifs : comparaison, équivalents. Séries absolument convergentes et séries alternées. 

Intégrales impropres. Définition d’une intégrale impropre (au sens de Riemann). Intégrales absolument convergentes. Exemples de cas non absolument convergent. Comparaison séries - intégrales. Quelques critères de convergence (Cauchy, Abel).

Suites et séries de fonctions. Suites de fonctions : convergences simple et uniforme, continuité, intégration et dérivation, théorème d’approximation de Weierstrass. Séries de fonctions : critères de convergence uniforme, convergence normale, inversion série/intégrale.

Séries entières : Rayon et domaine de convergence, lemme d'Abel, critères de Cauchy et de d'Alembert, opérations algébriques sur les séries entières, composition. Intégration et dérivation de séries entières. Développement en séries entières. Applications à la résolution des équations différentielles : résolution par séries entières et exponentielle de matrices. Exponentielle complexe. 

À la fin de cette UE, vous serez capable de :

• Étudier les séries numériques et les intégrales impropres, en connaissant les critères de convergence,
• Comprendre les différentes notions de convergence de suites et séries de fonctions.

Cours sur les suites numériques et les fonctions réelles (UE Analyse 1),

Cours sur le calcul intégral (UE Analyse 2).

Contrôle continu 100%

Les évaluations pourront prendre des formes diverses : contrôles écrits, QCM, corrections par les pairs, oraux, projets…

Travail personnel : 80h