Licence Mathématiques

Ce module permet de travailler les bases mathématiques minimales pour débuter une première année de licence de Mathématiques. 

La première partie est consacrée à quelques  révisions de terminales :

• Calcul algébrique : factorisation et développement dans
• Nombres complexes : somme, produit, quotient , différentes formes d’un nombre complexe
• Calculs des dérivées des fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques, racines carrées, valeur absolue …)

Le calcul de primitives usuelles, avec notamment la méthodes d’intégration par parties est aussi au programme de ce module.

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La première partie de ce cours sera dédiée à la formalisation en langage mathématique et à la résolution de problèmes simples qui seront retranscrits en termes d’équations et d’inéquations.  Les étudiants pourront dans cette partie, réviser les bases du calcul algébrique. L’écriture de ces énoncés et leur résolution permettront de travailler l’utilisation des quantificateurs et la manipulation des opérateurs logiques comme l’implication ou l’équivalence.  Différentes techniques de résolution seront abordées. Des exemples d’énoncés faisant intervenir des valeurs absolues pourront être résolus de manière géométrique ou algébrique.

Dans la deuxième partie du cours, les bases du calcul matriciel (définitions, addition, produit, inverse de matrices, méthode du pivot de gauss) seront présentées. Des exemples de résolution de systèmes linéaires seront traités.

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Les notions importantes sont introduites en cours de manière synthétique. Les TD d’un volume horaire beaucoup plus important que celui des cours, proposent une succession d’exercices  de niveaux graduels et permettent ainsi aux étudiants de passer progressivement de l’assimilation des notions vers leur approfondissement.

Sujets abordés :

• Nombres réels et propriétés (relations d’ordre et démonstration par récurrence, propriété de la borne sup, inf, caractérisation, de la borne sup, intervalles, valeur absolue, partie entière, densité de dans )
• Suites réelles : critères de convergence des suites, illustration sur des exemples, y compris les suites récurrentes .
• Limite en un point, calcul de limites (étude des formes indéterminées, équivalents), branches infinies.
• Continuité en un point (définition et lien avec les suites), continuité de f+g, fg, g o f, 1/f ; Fonction continue sur un intervalle (théorème des valeurs intermédiaires, prolongement par continuité, fonction réciproque).
• Dérivabilité en un point, dérivée de f+g, fg, g o f, 1/f, fonction dérivée, fonction de classe ; Notion de dérivées successives, fonctions de classe , fonction de classe , théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, fonctions monotones, fonctions convexes

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Les notions importantes sont introduites en cours de manière synthétique. Les TD d’un volume horaire beaucoup plus important que celui des cours, proposent une succession d’exercices de niveaux graduels et permettent ainsi aux étudiants de passer progressivement de l’assimilation des notions vers leur approfondissement.

Sujets abordés :

• Éléments de logique : quantificateurs, implication, équivalence, contraposée, raisonnement par l’absurde
• Éléments de théorie des ensembles : ensemble, intersection, union, inclusion, partie
• Applications : définitions, injectivité, surjectivité, bijectivité, inverse, image et image réciproque
• Nombres complexes : définitions, forme algébrique, trigonométrique, exponentielle, équations 2^nd degré, racine énième
• Polynômes et fractions rationnelles : définition, racines, factorisation, division euclidienne, décompositions en éléments simples

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Ce cours permet de réviser, ou de découvrir les principes élémentaires de l’arithmétique comme la divisibilité, les résultats sur les nombres premiers, le calcul de pgcd.

L’algorithme d’Euclide, le théorème de Bézout, la résolution d’équation d’équations diophantiennes de la forme ax+by=c, font parties des thèmes qui seront abordés, tout comme la notion de congruence, et l’exponentiation modulaire.

Les applications aux clés RSA est une des activités possibles basées sur les résultats de ce cours.

L’étude de la structure d’anneau Z/nZ bien compléter le tout.

Certains algorithmes étudiés dans ce cours pourront être mis en œuvre dans le module Algorithmes Mathématiques et Python 1.

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Travail collectif et individuel à travers les quatre compétences langagières définies par le Cadre Européen Commun de Référence pour les Langues (CECRL) à savoir la compréhension orale, l’expression orale, la compréhension écrite et l’expression écrite.

Par l’étude de documents authentiques traitant de l’actualité et la science, les étudiants seront amenés à aborder des notions grammaticales et lexicales investies dans une réalité opératoire de communication.

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À la fin de cette UE, vous serez capable de :

• Manipuler les fonctions élémentaires réciproques
• Comprendre la théorie du calcul intégral
• Déterminer des primitives de fonctions et s’en servir pour résoudre des équations différentielles simples
• Effectuer des études locales de fonction, notamment à l’aide de développements limités

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Les notions importantes sont introduites en cours de manière synthétique. Les TD d’un volume horaire beaucoup plus important que celui des cours, proposent une succession d’exercices  de niveaux graduels et permettent ainsi aux étudiants de passer progressivement de l’assimilation des notions vers leur approfondissement.  

Sujets abordés :

• Espace vectoriel : familles génératrices, familles libres, bases, dimension, dimension infinie.
• Applications linéaires : noyau, image, critère d’injection, théorème du rang.
  Étude de Kⁿ, matrice d’une application linéaire, composition, matrices particulières, matrice de passage, formule de de changement de base.
• Déterminant d’une matrice, d’une application linéaire, propriétés du déterminant et méthodes de calcul.

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• Définition de groupe, sous-groupe, corps. Quelques exemples.
• Définition d’anneau. Quelques exemples.
• Relation d’équivalence.

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Oraux sur les UE d’Analyse 2 et d’Algèbre 2.

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Ce cours est une introduction au langage Python et à la programmation. Il en présente les principes élémentaires comme la notion de variables, les instructions simples, répétitives ou conditionnelles qui permettent de construire un programme informatique.

À l’aide d’exemples tirés de différents cours de mathématiques, l’étudiant pourra se familiariser avec la syntaxe du langage Python, le codage des opérations élémentaires, l’affichage des résultats. Après cette phase de prise en main, des structures de programmes plus élaborées seront abordées avec notamment, la création de fonctions et l’utilisation de librairie Python (comme par exemple Matplotlib pour les représentations graphiques).

Les exemples d’activités suivants pourront être traités :

• Suites numériques : suites définies par récurrence, notion de critère d’arrêt.
• Probabilité discrète : simulations de lois élémentaires (tirage aléatoire, calcul de moyenne, écart-type,…)
• Arithmétique : PGCD, nombre premier, décomposition en facteurs premiers.

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Travail collectif et individuel à travers les quatre compétences langagières définies par le Cadre Européen Commun de Référence pour les Langues (CECRL) à savoir la compréhension orale, l’expression orale, la compréhension écrite et l’expression écrite.

Par l’étude de documents authentiques traitant de l’actualité et la science, les étudiants seront amenés à aborder des notions grammaticales et lexicales investies dans une réalité opératoire de communication.

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Ce cours consiste en une présentation chronologique de quelques grandes découvertes mathématiques et de quelques grands mathématiciens. Cette présentation s'efforcera de décrire le contexte culturel, ceci dans la mesure des connaissances de  l'enseignant : littérature, peinture, etc.

Le cours débute par "le miracle grec" en insistant sur les Éléments d'Euclide (-300). Il se poursuit par une l'apport des mathématiciens musulmans, en particulier Al Khwarizmi et le poète Omar Khayyam (IXe jusqu'au XIe). Viennent ensuite Fibonacci (XIIIe) pour la diffusion en Occident des chiffres indo-arabes et pour la mise en évidence de la suite u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1} qui depuis porte son nom.

Une partie importante du cours sera consacrée au renouveau de la géométrie qui accompagne et  résulte des innovations artistiques de  Renaissance en Italie (XVe). La résolution des équations polynomiales de degré 3 par Cardan est donnée et expliquée en détail (XVIe) ; on soulignera l'apparition des nombres complexes introduits par Bombelli pour lever une des difficultés des formules de Cardan.

Le grand siècle français avec les apports de Fermat, Pascal et Descartes, en théorie des nombres,  probabilités, géométrie fera l'objet d'une séance complète (XVIIe). Euler domine le XVIIIe (au moins dans ce cours) et une séance entière lui sera aussi consacré ; on y parlera de sommes infinies, de graphes, de logarithmique complexe et autres découvertes de ce mathématicien très prolifique.

Les techniques et outils du XIXe et du XXe deviennent de plus en plus difficiles à expliquer à de jeunes étudiants. Cependant,  certains travaux de Gauss (géométries non euclidiennes, nombres représentables à la règle et au compas, représentation géométrique des nombres complexes, arithmétique) demeurent  accessibles et seront expliqués. On décrira pendant une séance consacrée à la géométrie projective, son apparition et ses nouvelles idées (dualité, points complexes, points à l'infini) au début du XIXe sous la plume de Poncelet lors de son emprisonnement en Russie (1812).

La fin du XIXe sera abordée au travers des travaux de Cauchy en analyse, de Galois en algèbre, en parlant bien entendu de chercheurs hors de l'école française qui ont contribué aux progrès dans ces branches.

Pour le XXe, on expliquera l'essor de l'école allemande autour d'Emmy Noether après la première guerre mondiale puis la grande formalisation par groupe Bourbaki. On terminera par une petite biographie de Grothendieck

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Ce cours permettra tout d’abord aux étudiants de revoir ou de découvrir l’utilisation des nombres complexes en géométrie plane. Une activité possible pour cette partie du cours est de démontrer le Théorème de Morley en utilisant des nombres complexes.

D’autre part, l’étude des droites, cercles, triangles et quelques théorèmes classiques de géométrie affine euclidienne seront abordés

L’utilisation de logiciels de géométrie (Géogébra, …) pour illustrer les résultats du cours  apporte un plus important pour les futurs professeurs de mathématiques.

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L’objectif de cette UE est de donner aux étudiants les connaissances de base en algorithmique ainsi qu’une illustration en C. Cette approche est qualifiée de programmation structurée.

Les thématiques abordées sont :

• Notions de base : constantes, variables, types de données, conditions, itérations
• Sous-programmes : fonctions et procédures
• Vecteurs et tableaux
• Recherche dichotomique
• Tris de base

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Ce cours est consacré à la mécanique du point dans le cadre de la mécanique classique.
Il a pour ambition d’apporter aux étudiants les savoirs et connaissances nécessaires pour
comprendre et résoudre des problèmes simples de mécanique du point. Pour des raisons
historiques, nous nous intéresserons aux mouvements circulaires, rectilignes et
paraboliques dans des référentiels galiléens et non-galiléens.

La méthode que nous utiliserons est basée sur 3 points :

1. Comprendre ce que l’on me demande
2. Mettre en place ce que l’on sait :

1. 1. Les données de l’exercice (Quelles sont les données lues dans le texte de
      l’exercice ?)
   2. Le savoir issu du cours de l’étudiant (Qu’est-ce que je sais en lien avec le sujet
      de l’exercice ?)

3. Construire un cheminement logique et mathématique pour aller de la question à la
réponse ;

Ce cours sera structuré autour de quatre chapitres :

• Chapitre I : rappels mathématiques
• Chapitre II : la cinématique du point
• Chapitre III : la dynamique du point
• Chapitre IV : travail, puissance et énergie

Mise en garde : ce cours est conçu pour donner les outils et les notions essentielles de
mécanique du point. Il est évident qu’un travail régulier et une lecture d’ouvrage portant sur la
mécanique sont souhaitables.

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• Présentation
• Réflexion sur sa représentation d’un métier
• Recherche bibliographique
• Préparation de l’interview

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A l’arrivée à l’université, la grande majorité des étudiants a des lacunes ou des difficultés dans la maîtrise de la langue française. Le TD d’expression française se déroule en X séances de 1h30 en présentiel et est évalué en fin de semestre lors d’une épreuve écrite de 1h30. L’étudiant pourra revoir et consolider les règles de base de la grammaire, de l’orthographe et de la conjugaison. L’objectif de ce TD est de revoir toutes les règles qui occasionnent le plus de fautes dans les copies. De plus, une séance abordera les règles de l’écriture du mail.

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Révision et compléments d’algèbre linéaire. Rappel des notions élémentaires classiques : e.v. et s.e.v., bases, applications linéaires, noyau, image, rang. Somme directe, projection, symétrie, changement de bases. Révision matrices et calcul matriciel par blocs. Espace vectoriel dual.

Polynômes et trace d’endomorphismes, valeurs propres et vecteurs propres. Polynôme caractéristique, polynôme annulateur, polynôme minimal. Trace. Vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres. 

Diagonalisation, trigonalisation, Théorème de Cayley-Hamilton. Diagonalisation : critères de diagonalisation et applications (puissance de matrice, système de suites récurrentes, systèmes différentiels linéaires). Trigonalisation, critères de trigonalisation, méthode pratique de trigonalisation. Théorème de Cayley-Hamilton et polynôme annulateur.

Décomposition et réduction. Sous-espaces caractéristiques. Réduction en blocs triangulaires. Décomposition de Dunford. Applications : systèmes différentiels linéaires, puissances de matrices.

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Description du cours et modalités pédagogiques : 

Objectif : être capable de résoudre un problème simple de mécanique du solide (rotation autour d’un axe fixe ou fixe dans le repère de Koenig, avec ou sans forces de contact) 

Contenu : 

• Cinématique des solides rigides 
• Composition des mouvements, notion de composition des vitesses angulaires de rotation 

• Centre de masse, moments d’inertie 
• Forces appliquées à un solide, forces de contact solide-solide 
• Relation fondamentale de la dynamique 
• Moment cinétique d’un solide 
• Théorème du moment cinétique 

• Travail, puissance, énergie mécanique 

Modalités pédagogiques : cours magistral, TD d’application du cours 

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Applications multilinéaires. Définition. Retour sur le déterminant. Formes bilinéaires : définitions et expression matricielle en dimension finie, formes bilinéaires symétriques (rang, orthogonalité, isotropie).

Formes quadratiques. Généralités, décomposition de Gauss, inégalité de Cauchy-Schwarz, isométrie.

Espaces préhilbertiens. Bases, projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel, orthonormalisation, Gram-Schmidt, somme directe orthogonale, endomorphisme adjoint, diagonalisation dans le cas symétrique, théorème spectral.

Espaces hermitiens.

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Séries entières. Rappels sur les séries de fonctions (vues au S3). Rayon et domaine de convergence, lemme d'Abel, critères de Cauchy et de d'Alembert, opérations algébriques sur les séries entières, composition. Intégration et dérivation de séries entières. Développement en séries entières. Applications à la résolution des équations différentielles : résolution par séries entières et exponentielle de matrices. Exponentielle complexe. 

Intégrales à paramètres. Continuité et dérivabilité de $\ int f(x,t) dt$ par rapport à $x$. Version convergence dominée pour Riemann. 

Intégrales multiples. Intégrale des fonctions continues sur des pavés et sur des domaines définis par des inégalités simples. Théorème de Fubini. Difféomorphismes. Changements de variables. Formule de Green-Riemann. Calcul d’aires et de volumes.

Si le temps le permet : 
            - Applications. Produit de convolution. Transformée de Fourier : propriétés élémentaires, formule d’inversion, transformée de Fourier d’une gaussienne, d’un produit. Théorème de Plancherel. Application : équation de la chaleur sur la droite réelle (temps positif).

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Rappels de combinatoire.

Introduction au calcul des probabilités. Tribu, espace de probabilité, hypothèse d'équiprobabilité.

Probabilités conditionnelles. Formule de Bayes, indépendance des événements.

Variables aléatoires réelles discrètes à support fini. Notion de variable aléatoire, loi de probabilité, fonction de répartition, espérance, moments, indépendance. Exemples de lois usuelles à support fini (loi de Bernoulli, loi binomiale, loi uniforme).

Variables aléatoires sur des ensembles infinis dénombrables. Exemples des lois géométrique et de Poisson.

Variables aléatoires absolument continues. Définition, densité, fonction de répartition, lois de probabilité, loi uniforme, cas des lois à support non borné (exemples de lois usuelles). 

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Description du cours et modalités pédagogiques : 

Objectif : être capable de : 

• déterminer un champ électrique et un potentiel électrostatique créés par des distributions statiques de charges de géométrie simple  
• déterminer un champ magnétique créé par un courant électrique, dans des géométries simples 
• déterminer la force électro-motrice mise en jeu dans un phénomène d’induction (pour des applications telles que l’alternateur ou le transformateur)  

Contenu : 

1 - ÉLECTROSTATIQUE 

• Loi de Coulomb 
• Champ électrique et potentiel électrostatique créés par des distributions discrètes et continues de charges 

• Relations champ-charges (théomère de Gauss, densités volumique et superficielle de charges) 
• Equation de Poisson 
• Conducteurs et condensateurs à l’équilibre 
• Énergie électrostatique 

2 - MAGNÉTOSTATIQUE 

• Définition du vecteur courant, lien avec l’intensité du courant 
• Relation entre vecteur courant et densité de charges 
• Champ magnétique (mise en évidence expérimentale, théorème d’Ampère, propriétés) 
• Loi de Biot-Savart 

• Inductances 
• Énergie magnétique 

3 – RÉGIMES VARIABLES : ÉQUATIONS DE MAXWELL, APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI-STATIONNAIRES 

• Régimes variables (équations de Maxwell, équations de propagation d’une onde électromagnétique dans le vide, onde plane) 

• Approximation des régimes quasi-stationnaires 
• Phénomène d’induction 

Modalités pédagogiques : cours magistral, TD d’application du cours 

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Description du cours et modalités pédagogiques :

Objectif : Renforcement des compétences langagières en production orale et écrite. Rédaction de CV et de lettres de motivation.

Contenu :  Prise de parole et compréhension du discours en anglais de spécialité. Rédaction et compréhension de textes en anglais de spécialité.

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Révision et compléments d’algèbre linéaire. Rappel des notions élémentaires classiques : e.v. et s.e.v., bases, applications linéaires, noyau, image, rang. Somme directe, projection, symétrie, changement de bases. Révision matrices et calcul matriciel par blocs. Espace vectoriel dual.

Polynômes et trace d’endomorphismes, valeurs propres et vecteurs propres. Polynôme caractéristique, polynôme annulateur, polynôme minimal. Trace. Vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres. 

Diagonalisation, trigonalisation, Théorème de Cayley-Hamilton. Diagonalisation : critères de diagonalisation et applications (puissance de matrice, système de suites récurrentes, systèmes différentiels linéaires). Trigonalisation, critères de trigonalisation, méthode pratique de trigonalisation. Théorème de Cayley-Hamilton et polynôme annulateur.

Décomposition et réduction. Sous-espaces caractéristiques. Réduction en blocs triangulaires. Décomposition de Dunford. Applications : systèmes différentiels linéaires, puissances de matrices.

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Applications multilinéaires. Définition. Retour sur le déterminant. Formes bilinéaires : définitions et expression matricielle en dimension finie, formes bilinéaires symétriques (rang, orthogonalité, isotropie).

Formes quadratiques. Généralités, décomposition de Gauss, inégalité de Cauchy-Schwarz, isométrie.

Espaces préhilbertiens. Bases, projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel, orthonormalisation, Gram-Schmidt, somme directe orthogonale, endomorphisme adjoint, diagonalisation dans le cas symétrique, théorème spectral.

Espaces hermitiens.

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Rappels de combinatoire.

Introduction au calcul des probabilités. Tribu, espace de probabilité, hypothèse d'équiprobabilité.

Probabilités conditionnelles. Formule de Bayes, indépendance des événements.

Variables aléatoires réelles discrètes à support fini. Notion de variable aléatoire, loi de probabilité, fonction de répartition, espérance, moments, indépendance. Exemples de lois usuelles à support fini (loi de Bernoulli, loi binomiale, loi uniforme).

Variables aléatoires sur des ensembles infinis dénombrables. Exemples des lois géométrique et de Poisson.

Variables aléatoires absolument continues. Définition, densité, fonction de répartition, lois de probabilité, loi uniforme, cas des lois à support non borné (exemples de lois usuelles). 

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