Licence Mathématiques

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Ce module permet de travailler les bases mathématiques minimales pour débuter une première année de licence de Mathématiques. 

La première partie est consacrée à quelques  révisions de terminales :

• Calcul algébrique : factorisation et développement dans
• Nombres complexes : somme, produit, quotient , différentes formes d’un nombre complexe
• Calculs des dérivées des fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques, racines carrées, valeur absolue …)

Le calcul de primitives usuelles, avec notamment la méthodes d’intégration par parties est aussi au programme de ce module.

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La première partie de ce cours sera dédiée à la formalisation en langage mathématique et à la résolution de problèmes simples qui seront retranscrits en termes d’équations et d’inéquations.  Les étudiants pourront dans cette partie, réviser les bases du calcul algébrique. L’écriture de ces énoncés et leur résolution permettront de travailler l’utilisation des quantificateurs et la manipulation des opérateurs logiques comme l’implication ou l’équivalence.  Différentes techniques de résolution seront abordées. Des exemples d’énoncés faisant intervenir des valeurs absolues pourront être résolus de manière géométrique ou algébrique.

Dans la deuxième partie du cours, les bases du calcul matriciel (définitions, addition, produit, inverse de matrices, méthode du pivot de gauss) seront présentées. Des exemples de résolution de systèmes linéaires seront traités.

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Les notions importantes sont introduites en cours de manière synthétique. Les TD d’un volume horaire beaucoup plus important que celui des cours, proposent une succession d’exercices  de niveaux graduels et permettent ainsi aux étudiants de passer progressivement de l’assimilation des notions vers leur approfondissement.

Sujets abordés :

• Nombres réels et propriétés (relations d’ordre et démonstration par récurrence, propriété de la borne sup, inf, caractérisation, de la borne sup, intervalles, valeur absolue, partie entière, densité de dans )
• Suites réelles : critères de convergence des suites, illustration sur des exemples, y compris les suites récurrentes.
• Limite en un point, calcul de limites (étude des formes indéterminées, équivalents), branches infinies.
• Continuité en un point (définition et lien avec les suites), continuité de f+g, fg, g o f, 1/f ; Fonction continue sur un intervalle (théorème des valeurs intermédiaires, prolongement par continuité, fonction réciproque).
• Dérivabilité en un point, dérivée de f+g, fg, g o f, 1/f, fonction dérivée, fonction de classe ; Notion de dérivées successives, fonctions de classe , fonction de classe , théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, fonctions monotones, fonctions convexes

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Les notions importantes sont introduites en cours de manière synthétique. Les TD d’un volume horaire beaucoup plus important que celui des cours, proposent une succession d’exercices de niveaux graduels et permettent ainsi aux étudiants de passer progressivement de l’assimilation des notions vers leur approfondissement.

Sujets abordés :

• Éléments de logique : quantificateurs, implication, équivalence, contraposée, raisonnement par l’absurde
• Éléments de théorie des ensembles : ensemble, intersection, union, inclusion, partie
• Applications : définitions, injectivité, surjectivité, bijectivité, inverse, image et image réciproque
• Nombres complexes : définitions, forme algébrique, trigonométrique, exponentielle, équations 2^nd degré, racine énième
• Polynômes et fractions rationnelles : définition, racines, factorisation, division euclidienne, décompositions en éléments simples

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Ce cours permet de réviser, ou de découvrir les principes élémentaires de l’arithmétique comme la divisibilité, les résultats sur les nombres premiers, le calcul de pgcd.

L’algorithme d’Euclide, le théorème de Bézout, la résolution d’équation d’équations diophantiennes de la forme ax+by=c, font parties des thèmes qui seront abordés, tout comme la notion de congruence, et l’exponentiation modulaire.

Les applications aux clés RSA est une des activités possibles basées sur les résultats de ce cours.

L’étude de la structure d’anneau Z/nZ bien compléter le tout.

Certains algorithmes étudiés dans ce cours pourront être mis en œuvre dans le module Algorithmes Mathématiques et Python 1.

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La formation vise la maîtrise des compétences de l'usage des outils numériques et bureautiques, d'internet et de travail collaboratif, indispensables           aujourd’hui pour la vie étudiante et l’activité professionnelle. En parallèle, cette formation prépare à la certification PIX.

La formation s’appuie sur un cours en ligne sur la plateforme Elearn avec des tutoriels, exercices avec correction, tests de positionnements sur PIX et forum d’échanges.

Les épreuves évalueront les connaissances mais également les savoir-faire et la capacité à identifier les enjeux du numérique.

Contenus des modules :

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Cette UE obligatoire vise à développer les différentes compétences langagières définies par le Cadre Européen Commun de Référence pour les Langues (CECRL).

Pour ce premier semestre l’accent sera mis sur la compréhension écrite à partir de documents de vulgarisation scientifique.

Il s’agira d’approfondir les connaissances en langue anglaise tout en développant une langue à dominante scientifique au sens large. Les compétences grammaticales seront consolidées et approfondies et le vocabulaire scientifique étoffé, essentiellement à partir de documents écrits. On demandera aux étudiants de s’investir tant sur le plan de l’écrit que de l’oral dans un but d’expression la plus personnelle et spontanée possible.

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Le cours se déroulera comme suit :

Chapitre 1. Nature de la lumière

Chapitre 2. Principe de Fermat et lois de Snell-Descartes

Chapitre 3. Le prisme

Chapitre 4. Formation des images

Chapitre 5. Dioptres sphériques et dioptres plans

Chapitre 6. Miroirs sphériques et miroirs plans

Chapitre 7. Associations de surfaces simples

Chapitre 8. Quelques instruments d'optique

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À la fin de cette UE, vous serez capable de :

• Manipuler les fonctions élémentaires réciproques
• Comprendre la théorie du calcul intégral
• Déterminer des primitives de fonctions et s’en servir pour résoudre des équations différentielles simples
• Effectuer des études locales de fonction, notamment à l’aide de développements limités

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Les notions importantes sont introduites en cours de manière synthétique. Les TD d’un volume horaire beaucoup plus important que celui des cours, proposent une succession d’exercices  de niveaux graduels et permettent ainsi aux étudiants de passer progressivement de l’assimilation des notions vers leur approfondissement.  

Sujets abordés :

• Espace vectoriel : familles génératrices, familles libres, bases, dimension, dimension infinie.
• Applications linéaires : noyau, image, critère d’injection, théorème du rang.
  Étude de Kⁿ, matrice d’une application linéaire, composition, matrices particulières, matrice de passage, formule de de changement de base.
• Déterminant d’une matrice, d’une application linéaire, propriétés du déterminant et méthodes de calcul.

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• Définition de groupe, sous-groupe, corps. Quelques exemples.
• Définition d’anneau. Quelques exemples.
• Relation d’équivalence.

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Oraux sur les UE d’Analyse 2 et d’Algèbre 2.

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Ce cours est une introduction au langage Python et à la programmation. Il en présente les principes élémentaires comme la notion de variables, les instructions simples, répétitives ou conditionnelles qui permettent de construire un programme informatique.

À l’aide d’exemples tirés de différents cours de mathématiques, l’étudiant pourra se familiariser avec la syntaxe du langage Python, le codage des opérations élémentaires, l’affichage des résultats. Après cette phase de prise en main, des structures de programmes plus élaborées seront abordées avec notamment, la création de fonctions et l’utilisation de librairie Python (comme par exemple Matplotlib pour les représentations graphiques).

Les exemples d’activités suivants pourront être traités :

• Suites numériques : suites définies par récurrence, notion de critère d’arrêt.
• Probabilité discrète : simulations de lois élémentaires (tirage aléatoire, calcul de moyenne, écart-type,…)
• Arithmétique : PGCD, nombre premier, décomposition en facteurs premiers.

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Cette UE obligatoire vise à développer les différentes compétences langagières définies par le Cadre Européen Commun de Référence pour les Langues (CECRL).

Pour ce second semestre l’accent sera mis sur la compréhension écrite à partir de documents de vulgarisation scientifique et l’expression écrite.

Il s’agira d’approfondir les connaissances en langue anglaise tout en continuant à développer une langue à dominante scientifique au sens large. Les compétences grammaticales et le vocabulaire continueront à être approfondis et enrichis, essentiellement à partir de documents écrits. On demandera aux étudiants de s’investir tant sur le plan de l’écrit que de l’oral dans un but d’expression la plus personnelle et spontanée possible.

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Ce travail s'inscrit dans le cadre de la démarche PEP'S "Projet d’Études et Professionnel dans le Supérieur" qui est un dispositif d'accompagnement à l’orientation sur les 3 années de licence. Le but étant d’aider l’étudiant à construire progressivement un projet d’étude et professionnel de façon fiable et réfléchit et lui permettre de personnaliser et enrichir son parcours d’étude afin faciliter son intégration post licence (poursuite d’étude ou professionnelle).

Le PEP’S 1 est le premier temps de ce travail et permet aux étudiants d’élaborer un pré-projet d’études.

Plan (simplifié) du cours :

• Etape 1 : je découvre les clés de l’orientation et ma formation
• Étape 2 : j’explore les domaines professionnels de ma formation
• Etape 3 :  j’explore ma personnalité, mes atouts
• Étape 4 :  je combine mes résultats pour rédiger son pré-projet

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A l’arrivée à l’université, la grande majorité des étudiants a des lacunes ou des difficultés dans la maîtrise de la langue française. Le TD d’expression française se déroule en 6 séances de 1h30 en présentiel et est évalué en fin de semestre lors d’une épreuve écrite de 1h30. L’étudiant pourra revoir et consolider les règles de base de la grammaire, de l’orthographe et de la conjugaison. L’objectif de ce TD est de revoir toutes les règles qui occasionnent le plus de fautes dans les copies. De plus, une séance abordera les règles de l’écriture du mail.

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Ce cours consiste en une présentation chronologique de quelques grandes découvertes mathématiques et de quelques grands mathématiciens. Cette présentation s'efforcera de décrire le contexte culturel, ceci dans la mesure des connaissances de  l'enseignant : littérature, peinture, etc.

Le cours débute par "le miracle grec" en insistant sur les Éléments d'Euclide (-300). Il se poursuit par une l'apport des mathématiciens musulmans, en particulier Al Khwarizmi et le poète Omar Khayyam (IXe jusqu'au XIe). Viennent ensuite Fibonacci (XIIIe) pour la diffusion en Occident des chiffres indo-arabes et pour la mise en évidence de la suite u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1} qui depuis porte son nom.

Une partie importante du cours sera consacrée au renouveau de la géométrie qui accompagne et  résulte des innovations artistiques de  Renaissance en Italie (XVe). La résolution des équations polynomiales de degré 3 par Cardan est donnée et expliquée en détail (XVIe) ; on soulignera l'apparition des nombres complexes introduits par Bombelli pour lever une des difficultés des formules de Cardan.

Le grand siècle français avec les apports de Fermat, Pascal et Descartes, en théorie des nombres,  probabilités, géométrie fera l'objet d'une séance complète (XVIIe). Euler domine le XVIIIe (au moins dans ce cours) et une séance entière lui sera aussi consacré ; on y parlera de sommes infinies, de graphes, de logarithmique complexe et autres découvertes de ce mathématicien très prolifique.

Les techniques et outils du XIXe et du XXe deviennent de plus en plus difficiles à expliquer à de jeunes étudiants. Cependant,  certains travaux de Gauss (géométries non euclidiennes, nombres représentables à la règle et au compas, représentation géométrique des nombres complexes, arithmétique) demeurent  accessibles et seront expliqués. On décrira pendant une séance consacrée à la géométrie projective, son apparition et ses nouvelles idées (dualité, points complexes, points à l'infini) au début du XIXe sous la plume de Poncelet lors de son emprisonnement en Russie (1812).

La fin du XIXe sera abordée au travers des travaux de Cauchy en analyse, de Galois en algèbre, en parlant bien entendu de chercheurs hors de l'école française qui ont contribué aux progrès dans ces branches.

Pour le XXe, on expliquera l'essor de l'école allemande autour d'Emmy Noether après la première guerre mondiale puis la grande formalisation par groupe Bourbaki. On terminera par une petite biographie de Grothendieck

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Ce cours permettra tout d’abord aux étudiants de revoir ou de découvrir l’étude des barycentres, des droites, cercles, triangles.

Quelques théorèmes classiques de géométrie affine euclidienne seront abordés.

L’utilisation de logiciels de géométrie (Géogébra, …) pour illustrer les résultats du cours apporte un plus important pour les futurs professeurs de mathématiques.

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L’objectif de cette UE est de donner aux étudiants les connaissances de base en algorithmique ainsi qu’une illustration en C. Cette approche est qualifiée de programmation structurée.

Les thématiques abordées sont :

• Notions de base : constantes, variables, types de données, conditions, itérations
• Sous-programmes : fonctions et procédures
• Vecteurs et tableaux
• Recherche dichotomique
• Tris de base

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Ce cours est consacré à la mécanique du point dans le cadre de la mécanique classique.
Il a pour ambition d’apporter aux étudiants les savoirs et connaissances nécessaires pour
comprendre et résoudre des problèmes simples de mécanique du point. Pour des raisons
historiques, nous nous intéresserons aux mouvements circulaires, rectilignes et
paraboliques dans des référentiels galiléens et non-galiléens.

La méthode que nous utiliserons est basée sur 3 points :

1. Comprendre ce que l’on me demande
2. Mettre en place ce que l’on sait :

a) Les données de l’exercice (Quelles sont les données lues dans le texte de
l’exercice ?)

b) Le savoir issu du cours de l’étudiant (Qu’est-ce que je sais en lien avec le sujet
de l’exercice ?)

3. Construire un cheminement logique et mathématique pour aller de la question à la
réponse ;

Ce cours sera structuré autour de quatre chapitres :

• Chapitre I : rappels mathématiques
• Chapitre II : la cinématique du point
• Chapitre III : la dynamique du point
• Chapitre IV : travail, puissance et énergie

Mise en garde : ce cours est conçu pour donner les outils et les notions essentielles de
mécanique du point. Il est évident qu’un travail régulier et une lecture d’ouvrage portant sur la
mécanique sont souhaitables.

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La pratique théâtrale, ici potentiellement axée majoritairement sur le travail d’improvisations, mais pas exclusivement, présente de multiples perspectives de développement personnel, pouvant être aisément rattachés aux perspectives professionnelles d’étudiants amenés à exercer des fonctions de responsabilité. A se présenter, aussi, tout bonnement, sur le marché du travail. Travail qu’ils auront ensuite à exercer en équipe.

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Séries numériques. Convergence d’une série. Séries à termes positifs : comparaison, équivalents. Séries absolument convergentes et séries alternées. 

Intégrales impropres. Définition d’une intégrale impropre (au sens de Riemann). Intégrales absolument convergentes. Exemples de cas non absolument convergent. Comparaison séries - intégrales. Quelques critères de convergence (Cauchy, Abel).

Suites et séries de fonctions. Suites de fonctions : convergences simple et uniforme, continuité, intégration et dérivation, théorème d’approximation de Weierstrass. Séries de fonctions : critères de convergence uniforme, convergence normale, inversion série/intégrale.

Séries entières : Rayon et domaine de convergence, lemme d'Abel, critères de Cauchy et de d'Alembert, opérations algébriques sur les séries entières, composition. Intégration et dérivation de séries entières. Développement en séries entières. Applications à la résolution des équations différentielles : résolution par séries entières et exponentielle de matrices. Exponentielle complexe. 

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Révision et compléments d’algèbre linéaire. Rappel des notions élémentaires classiques : e.v. et s.e.v., bases, applications linéaires, noyau, image, rang. Somme directe, projection, symétrie, changement de bases. Révision matrices et calcul matriciel par blocs. Espace vectoriel dual.

Polynômes et trace d’endomorphismes, valeurs propres et vecteurs propres. Polynôme caractéristique, polynôme annulateur, polynôme minimal. Trace. Vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres. 

Diagonalisation, trigonalisation, Théorème de Cayley-Hamilton. Diagonalisation : critères de diagonalisation et applications (puissance de matrice, système de suites récurrentes, systèmes différentiels linéaires). Trigonalisation, critères de trigonalisation, méthode pratique de trigonalisation. Théorème de Cayley-Hamilton et polynôme annulateur.

Décomposition et réduction. Sous-espaces caractéristiques. Réduction en blocs triangulaires. Décomposition de Dunford. Applications : systèmes différentiels linéaires, puissances de matrices.

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Cette UE obligatoire vise à développer les différentes compétences langagières définies par le Cadre Européen Commun de Référence pour les Langues (CECRL).

Pour ce troisième semestre l’accent sera mis sur la compréhension écrite à partir de documents de vulgarisation scientifique, l’expression écrite et la compréhension de l’oral.

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Rappels et compléments. Structure d’espace vectoriel. Normes : définition, cas d’un produit scalaire, normes équivalentes. 

Topologie. Ouvert, fermé, intérieur, adhérence, frontière. Définitions et Propriétés. Notion de densité.

Suites. Convergence des suites dans un evn. Valeur d’adhérence. Caractérisation séquentielle des fermés. 

Limites et continuité. Limites et continuité des applications dans un evn. Applications uniformément continues et lipschitziennes. Caractérisation séquentielle de la continuité. Ouverts et fermés par images réciproques. 

Applications linéaires continues. Définition, propriétés et normes subordonnées. 

Compacité dans un evn. Définition séquentielle (axiome de Bolzano-Weierstrass). Propriétés des parties compactes. Théorèmes classiques de compacité (théorème des bornes, théorème de Heine,…). Application au théorème de Riesz (sur la dimension finie). 

Si le temps le permet :

- Complétude dans un evn. Suites de Cauchy. Exemples. Théorème de point fixe et applications. 

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Ce cours est dédié à l’analyse et la mise en œuvre en langage Python des algorithmes portant sur les thèmes suivants :

• Interpolation : polynôme de Lagrange, algorithme classique, algorithme des différences divisées, méthode de Hörner pour l’évaluation de polynôme
• Dérivation numérique : calcul approché de dérivée, ordre d’approximation et degré d’exactitude.
• Intégration numérique : méthode des rectangles à droite, rectangle à gauche, méthode des trapèzes, méthode du point milieu, méthode de Simpson, méthode composite, degré d'exactitude et ordre des méthodes.
• Recherche de zéros : dichotomie, théorème de point fixe, méthode de point fixe (méthode de Newton et méthode de la sécante), convergence de la méthode.

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Description du cours et modalités pédagogiques : 

Objectif : être capable de résoudre un problème simple de mécanique du solide (rotation autour d’un axe fixe ou fixe dans le repère de Koenig, avec ou sans forces de contact) 

Contenu : 

• Cinématique des solides rigides 
• Composition des mouvements, notion de composition des vitesses angulaires de rotation 

• Centre de masse, moments d’inertie 
• Forces appliquées à un solide, forces de contact solide-solide 
• Relation fondamentale de la dynamique 
• Moment cinétique d’un solide 
• Théorème du moment cinétique 

• Travail, puissance, énergie mécanique 

Modalités pédagogiques : cours magistral, TD d’application du cours 

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Ce cours permettra tout d’abord aux étudiants de revoir ou de découvrir l’utilisation des nombres complexes en géométrie plane. Une activité possible pour cette partie du cours est de démontrer le Théorème de Morley en utilisant des nombres complexes.

Courbes paramétrées planes. Courbes paramétrées, cartésiennes et polaires. Abscisse curviligne. Longueur d’une courbe, courbure, rayon et courbure. Étude des singularités. 

Intégrales curvilignes. Champ de vecteur, courbes, tangentes, propriétés.

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L'UE “Erasmus on stage”  a été créée pour les étudiants CMI et des étudiants en mobilité Erasmus dans le collège STEE.

L’objectif est de créer une pièce de théâtre en anglais, ou mélangeant plusieurs langues, afin de réfléchir et d'explorer la confrontation culturelle et linguistique que peut représenter une mobilité Erasmus. En jouant sur les expressions, les quiproquos, chacun pourra découvrir avec plaisir sa capacité à surmonter ses appréhensions linguistiques pour découvrir la culture de l'autre.

Le projet est encadré par un professionnel du théâtre et un professeur d’anglais. La création fera l’objet d'une représentation publique en fin de semestre.

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Cette UE obligatoire vise à développer les différentes compétences langagières définies par le Cadre Européen Commun de Référence pour les Langues (CECRL).

Pour ce quatrième semestre l’accent sera mis sur la compréhension de l’oral à partir de documents de vulgarisation scientifique, et expression orale (phonétique et accentuation de mots)

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Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

Limites et continuité. Définition de la limite et de la continuité d’une fonction de plusieurs variables. Propriétés.

Notions de dérivées. Dérivées directionnelles, dérivées partielles. Différentielle. Opérations sur les différentielles et composition. Calcul des dérivées partielles d’une fonction composée. Gradient, matrice jacobienne, divergence, rotationnel.

Fonctions de classe Ck. Théorème des accroissements finis. Théorème de Schwarz. Formule de Taylor.

Étude d’extrema. Notion de point critique, extremum local, définition et conditions nécessaires, conditions d’optimalité.

Si le temps le permet :

  - Application aux EDP. Résolution d’EDP simples. Passage en coordonnées polaires.

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Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

Applications multilinéaires. Définition. Retour sur le déterminant. Formes bilinéaires : définitions et expression matricielle en dimension finie, formes bilinéaires symétriques (rang, orthogonalité, isotropie).

Formes quadratiques. Généralités, décomposition de Gauss, inégalité de Cauchy-Schwarz, isométrie.

Espaces euclidiens et préhilbertiens. Bases, projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel, orthonormalisation, Gram-Schmidt, somme directe orthogonale, endomorphisme adjoint, diagonalisation dans le cas symétrique, théorème spectral.

Espaces hermitiens.

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Rappels de combinatoire.

Introduction au calcul des probabilités. Tribu, espace de probabilité, hypothèse d'équiprobabilité.

Probabilités conditionnelles. Formule de Bayes, indépendance des événements.

Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

Variables aléatoires réelles discrètes à support fini. Notion de variable aléatoire, loi de probabilité, fonction de répartition, espérance, moments, indépendance. Exemples de lois usuelles à support fini (loi de Bernoulli, loi binomiale, loi uniforme).

Variables aléatoires sur des ensembles infinis dénombrables. Exemples des lois géométrique et de Poisson.

Variables aléatoires absolument continues. Définition, densité, fonction de répartition, lois de probabilité, loi uniforme, cas des lois à support non borné (exemples de lois usuelles). 

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Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

Groupes, sous-groupes, groupes cycliques, ordre d'un élément dans un groupe.

Groupe des permutations.

Sous-groupe normal, groupe quotient.

Anneaux, corps (définitions)

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Ce cours est dédié à l’analyse et la mise en œuvre en langage Python des algorithmes portant sur les thèmes suivants :

• Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes : résolution de systèmes triangulaires supérieurs et inférieurs, décomposition LU, pivotage et décomposition PA=LU, décomposition de Choleski, complexité algorithmique, calcul de l’inverse d’une matrice.

• Calcul matriciel : calcul de vecteurs propres, valeurs propres, déterminant, résolution de systèmes linéaires.

• Optimisation linéaire : description de la méthode et algorithme du simplexe.
• Méthode des moindres carrés : résolution de systèmes surdéterminés au sens des moindres carrés. Équation normale. Application à la détermination d’un polynôme approchant « au mieux » un nuage de points. Moindres carrés non linéaire.

• Introduction aux réseaux de neurones. Activation par fonction logistique, application au débruitage par réseau à une couche.

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Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

Intégrales à paramètres. Continuité et dérivabilité. Version convergence dominée pour Riemann.

Intégrales multiples. Intégrale des fonctions continues sur des pavés et sur des domaines définis par des inégalités simples. Théorème de Fubini. Difféomorphismes. Changements de variables. Formule de Green-Riemann. Calcul d’aires et de volumes.

Si le temps le permet :

Applications. Produit de convolution. Transformée de Fourier : propriétés élémentaires, formule d’inversion, transformée de Fourier d’une gaussienne, d’un produit. Théorème de Plancherel. Application : équation de la chaleur sur la droite réelle (temps positif).

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Cette UE obligatoire vise à développer les différentes compétences langagières définies par le Cadre Européen Commun de Référence pour les Langues (CECRL). 
Pour ce cinquième semestre l’accent sera mis sur une introduction à la préparation à la certification en anglais, Test of English for International Communication (TOEIC).  

Le TOEIC mesure les compétences de compréhension écrite et orale pour les niveaux débutant à avancé et détermine si une personne peut communiquer en anglais efficacement et avec aisance dans un contexte professionnel. 

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Dans ce cours, nous aborderons les notion suivantes :

• Dénombrabilité.
• Algèbres et tribus ; tribus boréliennes.
• Mesures positives ; tribus complétées.
• Fonctions mesurables.
• Intégrale de Lebesgue ; comparaison entre l’intégrale de Lebesgue et celle de Riemann.
• Théorèmes de convergence et conséquences.
• Tribus et mesure produit ; théorème de Fubini ; mesure de Lebesgue sur 𝑅^n.
• Théorèmes de Tonelli, Fubini.
• Mesure image ; théorème de changement de variables.

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Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

• Espaces métriques : distances, rappels de topologie.   
  Connexité, connexité par arc.   
  Compléments sur la compacité (par recouvrement).
• Complétude :
  • Espace de Banach : définitions et premières propriétés, dualité, somme directe, équivalence avec convergence normale des séries, prolongement, point fixe, équation intégrale 
  • Espaces de Hilbert : propriétés principales et théorème de projection sur un convexe fermé.

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Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

• Généralités : équations différentielles scalaires du 1^er ordre, problème de Cauchy, théorème de Cauchy-Lipschitz en scalaire, lemme de Gronwall, résolution explicite d’une équation différentielle linéaire scalaire, résolution de quelques équations (équation à variables séparables, équation de Ricatti à coefficients constants, équation de Bernoulli, équation homogène), méthode de variation de la constante, résolution d’équations différentielles via les séries entières.
  
  
• Équations différentielles du 1^er ordre : théorème de Cauchy-Lipschitz, existence locale et unicité, solution maximale, réduction d’ordre.
• Systèmes différentielles linéaires : exponentielle de matrice, systèmes linéaires homogènes à coefficients constants, expression générale de la solution des systèmes linéaires non homogènes, exemples.
• Étude qualitative de solution, voisinage d’un point d’équilibre.

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Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

• Fonctions analytiques, principe de prolongement analytique, zéros isolés
• Fonctions holomorphes, fonction développable en séries entières
• Calcul intégral, Théorème de Cauchy, Théorème des résidus.

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L’objectif de cette UE est de permettre aux étudiants de maîtriser le langage SQL afin de créer, alimenter, modifier et supprimer une base de données.

Ressources pédagogiques :

Cours/TD/TP accessibles sous Elearn.

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Description du cours et modalités pédagogiques : 

Le cours est basé sur les équations de Maxwell dans les milieux linéaires. Les phénomènes de polarisation électrique et magnétique sont abordés. La propagation d’ onde en présence de milieux linéaires et interfaces trouvera des applications en propagation guidée, les modes seront définis. Les notions de diffraction, réflexion et réfraction seront abordés sur des exemples d’illustration.  

Ce cours est préparatoire au cours de « Propriétés électriques et magnétiques de la matière ». 

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Ce cours est dédié à l’analyse et la mise en œuvre en langage Python des algorithmes portant sur les thèmes suivants :

On analyse et on met en œuvre en Python, des méthodes numériques pour la résolution des systèmes linéaires. Ces méthodes soulèvent des problèmes théoriques nécessitant une connaissance solide de l’algèbre matricielle

• Rappels et compléments d'algèbre linéaire : Matrices hermitiennes, théorème de Schur, orthonormalisation de Gram-Schmidt. Norme matricielle, norme matricielle subordonnée, conditionnement (cas d’une matrice symétrique réelle, cas d’une matrice inversible, inégalités, exemple de système mal conditionné, pré-conditionneurs), rayon spectral propriétés sur les normes subordonnées et le rayon spectral
• Systèmes sur-déterminés : équation normale, méthode de factorisation QR, algorithme de Householder
• Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires: principe, méthode de Jacobi, méthode de Gauss-Seidel, méthode de relaxation, résultats de convergence, comparaison de ces méthodes sur des matrices tri-diagonales
• Méthodes variationnelles : méthode du gradient à pas fixe, interprétation graphique, méthode du gradient à pas optimal, espaces de Krylov, méthode du gradient conjugué
• Résolution numérique de u’’ = f par une méthode de différences finies : discrétisation et système linéaire résultant de la discrétisation, théorème de Lax.

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Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

• Espaces affines : structure d'espace affine, barycentres, sous-espaces affines. Repères affines, repères cartésiens. Représentation analytique des sous-espaces affines.
• Anneaux, anneaux commutatifs, morphismes d'anneaux. Anneaux intègres. Idéaux, anneaux quotients. Idéaux premiers, maximaux. Anneaux euclidiens, principaux et factoriels. Arithmétique dans les anneaux principaux. Exemple des entiers de Gauss

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Description du cours et modalités pédagogiques :

Objectif : Renforcement des compétences langagières en production orale et écrite. Rédaction de CV et de lettres de motivation.

Contenu :  Prise de parole et compréhension du discours en anglais de spécialité. Rédaction et compréhension de textes en anglais de spécialité.

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Révision et compléments d’algèbre linéaire. Rappel des notions élémentaires classiques : e.v. et s.e.v., bases, applications linéaires, noyau, image, rang. Somme directe, projection, symétrie, changement de bases. Révision matrices et calcul matriciel par blocs. Espace vectoriel dual.

Polynômes et trace d’endomorphismes, valeurs propres et vecteurs propres. Polynôme caractéristique, polynôme annulateur, polynôme minimal. Trace. Vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres. 

Diagonalisation, trigonalisation, Théorème de Cayley-Hamilton. Diagonalisation : critères de diagonalisation et applications (puissance de matrice, système de suites récurrentes, systèmes différentiels linéaires). Trigonalisation, critères de trigonalisation, méthode pratique de trigonalisation. Théorème de Cayley-Hamilton et polynôme annulateur.

Décomposition et réduction. Sous-espaces caractéristiques. Réduction en blocs triangulaires. Décomposition de Dunford. Applications : systèmes différentiels linéaires, puissances de matrices.

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Cette UE obligatoire vise à développer les différentes compétences langagières définies par le Cadre Européen Commun de Référence pour les Langues (CECRL).

Pour ce quatrième semestre l’accent sera mis sur la compréhension de l’oral à partir de documents de vulgarisation scientifique, et expression orale (phonétique et accentuation de mots)

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Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

Applications multilinéaires. Définition. Retour sur le déterminant. Formes bilinéaires : définitions et expression matricielle en dimension finie, formes bilinéaires symétriques (rang, orthogonalité, isotropie).

Formes quadratiques. Généralités, décomposition de Gauss, inégalité de Cauchy-Schwarz, isométrie.

Espaces euclidiens et préhilbertiens. Bases, projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel, orthonormalisation, Gram-Schmidt, somme directe orthogonale, endomorphisme adjoint, diagonalisation dans le cas symétrique, théorème spectral.

Espaces hermitiens.

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Rappels de combinatoire.

Introduction au calcul des probabilités. Tribu, espace de probabilité, hypothèse d'équiprobabilité.

Probabilités conditionnelles. Formule de Bayes, indépendance des événements.

Dans ce cours, nous aborderons les notions suivantes :

Variables aléatoires réelles discrètes à support fini. Notion de variable aléatoire, loi de probabilité, fonction de répartition, espérance, moments, indépendance. Exemples de lois usuelles à support fini (loi de Bernoulli, loi binomiale, loi uniforme).

Variables aléatoires sur des ensembles infinis dénombrables. Exemples des lois géométrique et de Poisson.

Variables aléatoires absolument continues. Définition, densité, fonction de répartition, lois de probabilité, loi uniforme, cas des lois à support non borné (exemples de lois usuelles). 

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