Rappels et compléments. Structure d’espace vectoriel. Normes : définition, cas d’un produit scalaire, normes équivalentes. 

Topologie. Ouvert, fermé, intérieur, adhérence, frontière. Définitions et Propriétés. Notion de densité.

Suites. Convergence des suites dans un evn. Valeur d’adhérence. Caractérisation séquentielle des fermés. 

Limites et continuité. Limites et continuité des applications dans un evn. Applications uniformément continues et lipschitziennes. Caractérisation séquentielle de la continuité. Ouverts et fermés par images réciproques. 

Applications linéaires continues. Définition, propriétés et normes subordonnées. 

Compacité dans un evn. Définition séquentielle (axiome de Bolzano-Weierstrass). Propriétés des parties compactes. Théorèmes classiques de compacité (théorème des bornes, théorème de Heine,…). Application au théorème de Riesz (sur la dimension finie).

Si le temps le permet :

- Complétude dans un evn. Suites de Cauchy. Exemples. Théorème de point fixe et applications. 

À la fin de cette UE, vous serez capable de :

• Manipuler différentes notions de topologie,
• Étudier les suites dans un espace vectoriel normé,
• Étudier la continuité dans un espace vectoriel normé.

Contrôle continu 100%

Les évaluations pourront prendre des formes diverses : contrôles écrits, QCM, corrections par les pairs, oraux, projets…

Travail personnel : 80h