› 1) Espaces de Hilbert : Fondements et Caractéristiques

• Définitions et propriétés des espaces de Hilbert.
• Produit scalaire et norme dans un espace de Hilbert.
• Orthogonalité, bases orthogonales et projections.
• Théorème de représentation de Riesz, de Lax-Milgram.
• Convergence faible.

› 2) Opérateurs linéaires dans les espaces de Hilbert

• Opérateurs auto-adjoints et compacts.
• Spectre des opérateurs dans les espaces de Hilbert.

› 3) Applications

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› 1) Théorie des distributions

• Rappels sur les espaces L^p.
• Introduction aux distributions et aux espaces de distributions.
• Notion de convergence dans l'espace des distributions.
• Opérations sur les distributions : dérivées, transformations, multiplication par une fonction.

› 2) Espace de Sobolev

•  Espaces de Sobolev et leurs propriétés.
• Inégalités de Sobolev et applications.

› 3)  Applications 

• Existence et unicité des solutions pour certaines classes d'EDP.
• Études de solutions.

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› 1) Méthodes des Différences Finies pour les équations elliptiques stationnaires

• Différences finies en dimension 1,
• Discrétisation des problèmes elliptiques en dimension 1 (discrétisation de l’équation et des conditions limites),
• Étude de la consistance, stabilité et erreur de convergence,
• Discrétisation des problèmes elliptiques en dimension 2 et étude de la consistance, de la stabilité et l’erreur de convergence,

› 2) Méthodes des Différences Finies pour les équations instationnaires

• Semi-discrétisation en espace,
• Discrétisation en temps, schémas d’Euler implicite et explicite, méthode de Crank-Nicolson (thêta-schéma),
• Équation de la chaleur,
• Équation d’advection, Équation de convection-diffusion,
• Analyse de stabilité au sens de Von Neumann.

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› 1) Introduction aux outils numériques

• Langage bash et gestionnaire de version git (utilisé pour les futurs rendus de TP).

› 2) Les bases en Python

• Algèbre linéaire (numpy.linalg),
• Résolution d’équations différentielles (Euler, Runge Kutta 2 et 4),
• Les classes en Python.

› 3) Implémentation d’algorithmes de résolution numérique par différences finies des problèmes stationnaires 1D suivants :

• Équation de Laplace (-u’’=f) avec condition aux bords Dirichlet ou Neumann,
• u’’=u+f,
• Équation d’Euler-Bernouilli (déformation d’une poutre) : u’’’’=f avec conditions aux bords
  ▪    u(0)=u’(0)=0 et u(L)=u’(L)=0,
  ▪    u(0)=u’(0)=0 et u’’(L)=u’’’(L)=0.

› 4) Implémentation d’algorithmes de résolution numérique par différences finies des problèmes instationnaires 1D suivants :

•  Advection 1D : schéma décentré couplé à une intégration temporelle d’Euler explicite ou implicite,
• Diffusion 1D : intégration temporelle d’Euler explicite ou implicite et schéma de Crank-Nicolson.

› 5) Implémentation d’algorithmes de résolution numérique par différences finies des problèmes 2D suivants :

• Problème stationnaire : équation de Laplace,
• Problème instationnaire : équation de la chaleur.

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› 1) Généralité sur les graphes : Définition, type de graphe (graphes simples, graphes pondérés, graphes bipartis, connexité, arbres, forêts),

› 2) Programmation linéaire : Dualité,

› 3) Algorithmes en recherche opérationnelle : plus courts chemins, tournées, couplage, parcours, coupe, flot, coloration.

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Préparer son projet professionnel et découvrir les métiers après le master "Mathématiques et Application".

1. Préparation à la recherche d'alternance ou de stage
2. Outils numériques et réseautage.
3. Découverte des entreprises
4. Connaissance du métier.

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Préparation à la certification en anglais, Test of English for International Communication (TOEIC).

Le TOEIC mesure les compétences de compréhension écrite et orale pour les niveaux débutant à avancé et détermine si une personne peut communiquer en anglais efficacement et avec aisance dans un contexte professionnel.

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Maitriser le vocabulaire d’un problème d’optimisation, savoir résoudre une classe de problèmes d’optimisation et savoir le résoudre numériquement.

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Renforcer les connaissances en probabilités pour la modélisation.

1. Rappels d’intégration (tribu, mesure) et de probabilités (loi d’un vecteur aléatoire, tribu engendrée par un vecteur aléatoire),
2. Vecteurs gaussiens,
3. Lois et espérances conditionnelles.

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Nous attirons votre attention sur le fait que cette UECF n'ouvrira pas à la rentrée 2024/2025 et sera mise en place lors du déploiement de notre partenariat avec l'école CYTECH à venir.

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› 1) Implémentation de A à Z en 1D (Python) pour des éléments Pk continus

• Interpolation,
• Projection,
• Assemblage d’un problème aux limites,
• Étude de convergence en maillage, en temps.

› 2) Utilisation de logiciels en 2D (ou 3D)

• Gestion des maillages (gmsh),
• Assemblage d’un problème aux limites (DOLFINx),
• Visualisation et post-traitement (Paraview).

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Aborder la prédiction et l’apprentissage automatique qui sont les tâches les plus courantes effectuées par les data scientists et les data analysts.

1. Présentation des activités clés de l’apprentissage automatique
2. Méthodes d’apprentissage supervisé: régression et classification binaire
3. Approches et algorithmes pour l’apprentissage supervisé
4. Apprentissage itératif basé sur l’optimisation
5. Généralisation, régularisation et Validation

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Acquérir les bases des Réseaux de Neurones pour le traitement et l’analyse de grands volumes de données.

1. Notions d’apprentissage profond supervisé;
2. Comprendre les algorithmes sous-jacents les méthodes d’apprentissage profond;
3. Structurer et préparer les données sous une forme appropriée;
4. Implémenter un perceptron ;
5. Comprendre l’action des hyperparamètres de base.

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I) Introduction

• Définitions et principes de modélisation,

• Introduction aux étapes de la construction d’un modèle mathématique,
• Exemples simples issus de la physique, biologie et économie.

II) Modélisation par des équations différentielles ordinaires/ systèmes dynamiques

• Modélisation de phénomènes dynamiques : croissance, modélisation de population,
• Stabilité des équilibres, introduction aux diagrammes de phase.

III) Modélisation par les équations aux dérivées partielles (EDP)

• Principales EDP de la physique : équation de la chaleur, de transport… ,
• Méthodes analytiques de résolution pour des cas simples,
• Applications à la modélisation physique.

IV) Introduction aux modèles stochastiques

• Concepts de probabilité et de processus stochastiques simples,
• Introduction aux chaînes de Markov et applications dans la modélisation de phénomènes..

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› 1) Théorèmes de Hahn-Banach et ses applications

• Rappels sur les espaces de Banach,
• Théorème de Hahn-Banach forme analytique,
• Théorème de Hahn-Banach forme géométrique.

› 2) Topologie faible et faible étoile

• Constructions des topologies,
• Compacité.

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Préparation à la certification en anglais, Test of English for International Communication (TOEIC).

Le TOEIC mesure les compétences de compréhension écrite et orale pour les niveaux débutant à avancé et détermine si une personne peut communiquer en anglais efficacement et avec aisance dans un contexte professionnel.

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Nous attirons votre attention sur le fait que cet EC n'ouvrira pas à la rentrée 2024/2025 et sera mise en place lors du déploiement de notre partenariat avec l'école CYTECH à venir.

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Objectif :

Savoir extraire du parallélisme de manière automatique dans un algorithme par une approche compilateur.

Description :

1. Modèles de programmation parallèle ;
2. Techniques d’extraction automatique du Parallélisme (un exemple : la vectorisation automatique) ;
3. Résolution de quelques problèmes de vectorisation.

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• Fonctions harmoniques, principes du maximum ;

• Résolution de problèmes elliptiques linéaires, régularité elliptiques, principes du maximum fort ;

• Problèmes elliptiques non linéaires (résolution avec différentes méthodes) ;

• Équation de la chaleur linéaire, régularité des solutions, problèmes non linéaires.

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Present the theory of different Finite Element methods : conforming, nonconforming and mixed FE.

1. Sobolev spaces and trace theorems,
2. Variational formulations and approximations,
3. Finite element spaces,
4. Saddle-point problems.

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Le projet intégrateur associe étroitement la notion de projet et celle d’intégration des acquis. Il initie à la gestion de projet, le suivre et l’accompagner pour la réalisation de son projet dans le domaine du Big Data. L’idée est de faire comprendre au travers d’un travail concret et d’envergure l’intérêt à prendre du recul.

Le suivi et l’accompagnement est assuré par les enseignants chercheurs, selon trois modalités

- 1) présentation/discussion mensuelle avec
l’ensemble des étudiants, 

- 2) réunion de travail, à minima bi-mensuelle (étudiants en formation initiale),

- 3) évaluation de plusieurs livrables liés au projet.

Description :

1. Conduite, pratiques et outils en gestion de projet. Comprendre et mettre en pratique les principes et les outils de la gestion de projet.

2. Communiquer : prise de parole sur un sujet en fonction du public (scientifique/vulgarisation).

3. Développer : une analyse critique et une argumentation pour justifier des choix méthodologiques et techniques.

4. Mobiliser : les différents acquis pour s’approprier d’une problématique afin de proposer des solutions adaptées.

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1.  Introduction : exemples de systèmes hyperboliques, problèmes bien et mal posés, méthode des caractéristiques.
2. Volumes finis en 1D pour le linéaire : schéma décentré pour une équation de transport (stabilité L² (von Neumann), stabilité L^∞), condition CFL, résolution du problème de Riemann pour un système.
3. Volumes finis en multi-D pour le linéaire : schéma numérique, condition CFL, stabilité L² et hyperbolicité, système symétrisable (+exemples), entropie.
4. Lois de conservation scalaire : solution faible, condition de Rankine-Hugoniot, onde de choc, onde de détente, entropie et unicité, théorème de Krushkov.
5. Volumes finis pour les lois de conservation scalaires : exemples de flux numériques, BV et L^∞ stabilité, CFL, schéma et flux monotones

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• We present the concepts of a Voronoi diagram and of a Delaunay triangulation,

• We shall present several recent results about their optimality from an approximation point of view,

• Finite Element Methods on general meshes,

• Some advanced applications.

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• Introduction : discover the architecture of a supercomputer and what is High Performance Computing,

• Efficient sequential programming,

• Introduction to compiled langages (C),

• Improve Python programs using C functions and Python tools,

• Parallel programming :

• Using a supercomputer,

• Distributed memory parllelism : MPI in Python,

• Introduction and practice of simple Domain Decomposition Methods,

• Shared memory parallelism : OpenMP and Python tools.

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Les thèmes suivants seront développés :

• Écoulement et transport en milieux poreux,

• Écoulements multiphasiques en milieux poreux,

• Modélisation des réservoirs,

• Homogénéisation, éléments finis et volumes,

• Modélisation et simulation numérique d’écoulements diphasiques en milieux poreux.

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Le cours se décompose en 3 temps :

1. Modélisation physique et mathématique : présentation de quelques EDP présentes dans les codes industriels,
2. Simulation numérique avec le logiciel FLUENT,
3. Simulation numérique avec le code industriel elsA.

Remarque : Nous sommes la seule formation académique, à ce jour, à dispenser un cours avec le logiciel d’aérodynamique elsA, propriété conjointe d’Airbus, Safran et de l’ONERA.

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Les triangulations de Delaunay et les diagrammes de Voronoï sont devenus des outils de base pour de nombreuses applications telles que :

- Génération et amélioration de maillages en simplexes pour la méthode des éléments finis, 

- Triangulation de domaines de données spécialement pour les données éparpillées. 

Ces deux décompositions de domaines sont aussi des structures de données permettant de résoudre de nombreux problèmes : robotique, biologie, planification de trajectoires, reconnaissance de formes, informatique graphique, génération de maillages...

Dans ce cours, on décrira donc la triangulation de Delaunay comme dual du diagramme de Voronoï ainsi que leurs principales propriétés mathématiques et leurs principales applications pratiques.

On présentera également des travaux récents sur les propriétés optimales des triangulations de Delaunay et des diagrammes de Voronoi d’ensemble fini de points de l’espace Rn. La question d’optimisation de maillages sera également abordée.

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Partie 1

1. Probabilités avancées : Espace probabilisé, variables aléatoires, processus, filtrations, mouvement brownien, martingales ;
2. Calcul de Itô : intégrale de Itô (construction et propriétés), formule de Itô ;
3. Équations différentielles stochastiques en dimension finie : exemples, existence et unicité.

Partie 2

1. Étude des équations d’évolution avec des opérateurs monotones : méthode de discrétisation en temps ;
2. Étude des équations stochastiques avec des opérateurs monotones.

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1. Introduction : problème direct, problème inverse, problème bien posé au sens de Hadamard... ;
2. Question d’existence de solution de problèmes inverses : continuation unique, inégalités de Carleman... ;
3. Régularisation des problèmes inverses numériques : Tykhonov, projection... ;
4. Méthodes de gradient accéléré : Nesterov, ... ;
5. Applications : problème de complétion de données et de détection d’obstacles.

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Ce cours s’intéresse à l’analyse asymptotique de problèmes elliptiques avec petits paramètres. Il se divise en deux parties :

1. Introduction aux méthodes de développements asymptotiques en 1D :

- Développements réguliers,

- Développements singuliers,

- Développements à double échelle,

- Développements raccordés.

Intérêt pédagogique : distinguer développements usuels et développements singuliers (développements à double échelle, développements raccordés).

Mise en œuvre numérique sur des exemples simples. Modélisation asymptotique pour
l’électromagnétisme numérique : étude de problèmes de couche limite ou de couche simple.

2. Méthodes BKW en dimension quelconque, problèmes de couches limites issus de la mécanique des fluides.

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1. Le théorème de Hille-Yosida (maximalité et monotonie dans les espace de Hilbert) ;
2. Présentation des schémas de discrétisation par éléments finis des problèmes temporels par flux de Riemann Implémentation de ces méthodes.

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- Fonctions harmoniques, principes du maximum
- Résolution de problèmes elliptiques linéaires, régularité elliptiques, principes du maximum fort
- Problèmes elliptiques non linéaires (résolution avec différentes méthodes)
- Équation de la chaleur linéaire, régularité des solutions, problèmes non linéaires

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Aperçu de l’ingénierie mathématique de l’apprentissage profond, fondements de l’apprentissage profond,
description mathématique de base des modèles, algorithmes et méthodes d’apprentissage profond.

Description du contenu du cours :

1. Introduction,
2. Principes de l’apprentissage automatique,
3. Réseaux neuronaux simples,
4. Algorithmes d’optimisation,
5. Les réseaux profonds de type feedforward,
6. Réseaux neuronaux convolutifs,
7. Modèles de séquences,
8. Architectures et paradigmes spécialisés.

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Les grandes masses de données (Big Data) sont un domaine en pleine croissance et les compétences dans ce domaine sont parmi les plus demandées aujourd’hui. Le gros problème, c’est que les données sont volumineuses - la taille, la complexité et la diversité des ensembles de données augmentent chaque jour.

1. Présentation de la problématique des grandes masses de données,
2. Présentation de certaines des approches statistiques et mathématiques permettant de les analyser,
3. Méthodes basées sur l’apprentissage machine pour l’analyse de grands ensembles de données et pour l’extraction d’informations.

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• Elaboration d'un diaporama servant de support à une présentation scientifique.

• Apprentissage de vocabulaire de spécialité.

• Elaboration d’un CV

• Entretien d’embauche

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Apporter la formation linguistique et culturelle qui favorisera l’adaptation des étudiants à la vie universitaire et extra-universitaire.

L’enseignement est axé sur le français général, c’est-à-dire la langue de communication, orale et écrite, et la méthodologie universitaire en français.

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